В чём разница между глаголами “happen” и “occur”?

Смысловой разницы между ними нет: оба глагола означают одно и то же – «произойти», «случиться».

Разница чисто стилистическая: глагол occur относится к официально-деловому стилю (formal в английской терминологии) и звучит солиднее простого, повседневного happen.

Условно говоря, разница примерно такая же, как между русскими глаголами «произойти» и «случиться»: «произойти» звучит солиднее более простого «случиться».

Сравните, например:

The accident happened two years ago – Авария случилась два года назад (everyday English)

The accident occurred two years ago – Авария произошла два года назад (formal English)

Но в английском языке эта стилистическая разница ощущается ещё больше.

Соответственно, в повседневной речи употребляем глагол happen, а в официальной обстановке и документах – occur.

Произносятся [ˈhæpən], [əˈkɜː(r)] в британском английском и [ˈhæpən], [əˈkɜːr] в американском.